问答题
设3维向量组α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关．
问答题
证明：存在非零3维向量ξ，ξ既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出；
【正确答案】
【答案解析】[证]因α
1
，α
2
，β
1
，β
2
均是3维向量，4个3维向量必线性相关，由定义知，存在不全为零的数k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0，
得k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ．
取ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ，
若ξ=0，则k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 =0．
因α 1 ，α 2 线性无关，β 1 ，β 2 也线性无关，从而得出k 1 =k 2 =0，且λ 1 =λ 2 =0，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α 1 ，α 2 线性表出，也可由β 1 ，β 2 线性表出的非零向量．
k 1 α 1 +k 2 α 2 +λ 1 β 1 +λ 2 β 2 =0，
得k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ．
取ξ=k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 ，
若ξ=0，则k 1 α 1 +k 2 α 2 =-λ 1 β 1 -λ 2 β 2 =0．
因α 1 ，α 2 线性无关，β 1 ，β 2 也线性无关，从而得出k 1 =k 2 =0，且λ 1 =λ 2 =0，这和4个3维向量必线性相关矛盾，故ξ≠0．ξ即为所求的既可由α 1 ，α 2 线性表出，也可由β 1 ，β 2 线性表出的非零向量．
问答题
若α
1
=(1，-2，3)
T
，α
2
=(2，1，1)
T
，β
1
=(-2，1，4)
T
，β
2
=(-5，3，5)
T
．求既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表出的所有非零向量ξ．
【正确答案】
【答案解析】[解]设ξ=k
1
α
1
+k
2
α
2
=-λ
1
β
1
-λ
2
β
2
，则得齐次线性方程组k
1
α
1
+k
2
α
2
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0．将α
2
，α
2
，β
2
，β
2
合并成矩阵，并作初等行变换得
解得 (k 1 ，k 2 ，λ 1 ，λ 2 )=k(-1,2，-1,1)．
故既可由α 1 ，α 2 线性表出，又可以由β 1 ，β 2 线性表出的所有非零向量为
其中k是任意的非零常数
(或
解得 (k 1 ，k 2 ，λ 1 ，λ 2 )=k(-1,2，-1,1)．
故既可由α 1 ，α 2 线性表出，又可以由β 1 ，β 2 线性表出的所有非零向量为
其中k是任意的非零常数
(或