已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=4x
2
2
-3x
3
2
+4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+8x
2
x
3
．
问答题
写出二次型f的矩阵表达式；
【正确答案】正确答案：二次型f的矩阵表达式为
【答案解析】
问答题
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
【正确答案】正确答案：矩阵A的特征多项式为
由此得矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y
1
2
+6y
2
2
—6y
3
2
． 对于特征值λ
1
=1，由于
故对应于特征值λ
1
=1的特征向量可取为ξ
1
=(2，0，一1)
T
． 类似地，对应于特征值λ
1
=6，λ
2
=-6的特征向量可分别取为 ξ
2
=(1，5，2)
T
，ξ
3
=(1，一1，2)
T
． 因为A是实对称矩阵，且λ
1
，λ
2
，λ
3
互异，故x
1
，x
2
，x
3
构成正交向量组，将其单位化得
故对二次型f作正交变换
由此得矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6．于是，二次型f可通过正交变换x=Oy化为标准形f=y
1
2
+6y
2
2
—6y
3
2
． 对于特征值λ
1
=1，由于
故对应于特征值λ
1
=1的特征向量可取为ξ
1
=(2，0，一1)
T
． 类似地，对应于特征值λ
1
=6，λ
2
=-6的特征向量可分别取为 ξ
2
=(1，5，2)
T
，ξ
3
=(1，一1，2)
T
． 因为A是实对称矩阵，且λ
1
，λ
2
，λ
3
互异，故x
1
，x
2
，x
3
构成正交向量组，将其单位化得
故对二次型f作正交变换
【答案解析】解析：本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法，矩阵特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩阵A及A的特征值与特征向量，再将特征向量正交单位化，求出正交矩阵，即可把f化为标准形．