问答题
推导包含生产的两人两种商品的经济中的帕累托效率的微积分条件。(X
1
和X
2
分别表示生产和消费的商品1总量和商品2总量，两个人分别为A和B。)(厦门大学2006研)
【正确答案】正确答案：设社会转化函数为：T(x
1
，x
2
)=0，社会转化函数说明在既定的资源下，社会从x
1
商品的生产转化为x
2
商品的生产的可能性。 U
A
(x
A
1
，x
A
2
)表示消费者A的效用函数，U
B
(x
B
1
，x
B
2
)表示消费者B的效用函数。 消费者A所消费的商品1和2的数量分别为x
A
1
和x
A
2
；消费者日所消费的商品1和2的数量分别为x
B
1
和x
B
2
。社会生产的商品1和2的数量分别为X
1
和X
2
。因此，X
1
=x
A
1
+x
B
2
，X
2
=x
A
1
+x
B
2
，即A、B两人所各自消费的商品1和2的数量加总分别等于这两种商品的总量。 为了简化但不失一般性，可以假设B的效用水平给定，U
B
(x
B
1
，x
B
2
)=
，而A追求其效用水平最大化。 最优化问题的Lagrange函数为： L=U
A
(x
A
1
，x
A
2
)一λ[U
B
(x
B
1
，x
B
2
)一
]一μ[T(x
1
，x
2
)一0] ① 其中λ、μ为Lagrange乘数。 对①式分别求x
A
1
、x
A
2
、x
B
1
和x
B
2
的一阶偏导数，并令这些偏导数为零，得到一阶条件为：
由②、③、④、⑤四式可得包含生产的两人两种商品的经济中的帕累托效率的微积分条件为：
，而A追求其效用水平最大化。 最优化问题的Lagrange函数为： L=U
A
(x
A
1
，x
A
2
)一λ[U
B
(x
B
1
，x
B
2
)一
]一μ[T(x
1
，x
2
)一0] ① 其中λ、μ为Lagrange乘数。 对①式分别求x
A
1
、x
A
2
、x
B
1
和x
B
2
的一阶偏导数，并令这些偏导数为零，得到一阶条件为：
由②、③、④、⑤四式可得包含生产的两人两种商品的经济中的帕累托效率的微积分条件为：
【答案解析】