设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：∫
a
b
xf(x)dx≥
【正确答案】正确答案：方法一
因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以∫
a
b
φ(x)dx≥0，
故∫
a
b
xf(x)dx≥
f(x)dx． 方法二令φ(x)=∫
a
x
tf(t)dt－
∫
a
x
f(t)dt，显然φ(a)=0． φ'(x)=xf(x)=1／2∫
a
x
f(t)dt－
f(x)=1／2[(x－a)f(x)－∫
a
xf(t)
dt] =1／2[∫
a
x
f(x)dt－∫
a
x
f(x)dt]=1／2∫
a
x
[f(x)－f(t)]dt≥0
得φ(b)≥φ(a)=0，所以∫
a
b
xf(x)dx≥
因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以∫
a
b
φ(x)dx≥0，
故∫
a
b
xf(x)dx≥
f(x)dx． 方法二令φ(x)=∫
a
x
tf(t)dt－
∫
a
x
f(t)dt，显然φ(a)=0． φ'(x)=xf(x)=1／2∫
a
x
f(t)dt－
f(x)=1／2[(x－a)f(x)－∫
a
xf(t)
dt] =1／2[∫
a
x
f(x)dt－∫
a
x
f(x)dt]=1／2∫
a
x
[f(x)－f(t)]dt≥0
得φ(b)≥φ(a)=0，所以∫
a
b
xf(x)dx≥
【答案解析】