问答题
设函数
，x∈[0，+∞)，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：
(Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn；
(Ⅱ)
收敛；
(Ⅲ)
，x∈[0，+∞)，其中n=1，2，3，…为任意自然数，f(x)为[0，+∞)上正值连续函数，求证：(Ⅰ)Fn(x)在(0，+∞)存在唯一零点xn；
(Ⅱ)
收敛；(Ⅲ)
【正确答案】(Ⅰ)Fn(x)在[0，+∞)内可导(也就必然连续)，又
Fn(x)在
存在零点，记为xn，则Fn(xn)=0. 又
Fn(x)在[0，+∞)单调上升Fn(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个xn.
(Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
因
收敛，由比较原理知，
收敛. 又
ln(1+xn)～xn(n→∞)
收敛.
(Ⅲ)方法1°前面已导出
又
方法2°直接由
同样得
Fn(x)在存在零点，记为xn，则Fn(xn)=0. 又Fn(x)在[0，+∞)单调上升Fn(x)在(0，+∞)有唯一零点，就是这个xn. (Ⅱ)在前面的证明中已得估计式
因
收敛，由比较原理知，收敛. 又ln(1+xn)～xn(n→∞)
收敛. (Ⅲ)方法1°前面已导出
又
方法2°直接由
同样得
【答案解析】