问答题
设λ
1
，λ
2
为n阶方阵A的特征值，且λ
1
≠λ
2
，而x
1
，x
2
分别为对应的特征向量，试证明ax
1
+bx
2
不是A的特征向量，ab≠0.
【正确答案】
【答案解析】
用反证法，若ax
1
+bx
2
是A的特征向量，它所对应的特征值为μ，则A(ax
1
+bx
2
)=μ(ax
1
+bx
2
)．
由题设，A(ax
1
+bx
2
)=aAx
1
+bAx
2
=aλ
1
x
1
+bλ
2
x
2
．
以上两式相减得a(μ-λ
1
)x
1
+b(μ-λ
2
)x
2
=0，由于x
1
与x
2
线性无关，故有μ=λ
1
=λ
2
，这与题设矛盾．
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