问答题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
(1)求A的特征值与特征向量．
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．
(1)求A的特征值与特征向量．
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．
【正确答案】(1) 依题意，
因为
所以矩阵A的特征值是3，α=(1，1，1，)T是A属于3的特征向量．
又因为Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以α1，α2是矩阵A属于λ=0的特征向量．所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为：
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)T(k≠0为常数)．
(2) 因为α1，α2不正交，故要作Schmidt正交化：
β1=α1=(-1，2，-1)T，
单位化：
因为
所以矩阵A的特征值是3，α=(1，1，1，)T是A属于3的特征向量．
又因为Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以α1，α2是矩阵A属于λ=0的特征向量．所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为：
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T(k1，k2是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)T(k≠0为常数)．
(2) 因为α1，α2不正交，故要作Schmidt正交化：
β1=α1=(-1，2，-1)T，
单位化：
【答案解析】[考点提示] 矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、对角矩阵．