解答题
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B
T
为B的转置矩阵．试证：B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
【正确答案】
【答案解析】
[证]必要性．
设B
T
AB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有x
T
(B
T
AB)x＞0，
即(Bx)
T
A(Bx)＞0，必有Bx≠0，即Bx=0只有零解．
从而r(B)=n．
充分性．
因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB，故B
T
AB为实对称矩阵．
若r(B)=n，则方程组Bx=0只有零解．
从而对任意实n维列向量x≠0有Bx≠0．
因为A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，
有(Bx)
T
A(Bx)＞0．
于是当x≠0时，x
T
(B
T
AB)x＞0，故B
T
AB为正定矩阵．
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