【答案解析】[解] 设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件．因此需要求出v=8xyz在约束条件下的极大值．
   设令
   
   ①，②，③分别乘以x，y，z，有故或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．将代入④，有
   由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大长方体，最大体积为