解答题
3.设f(x)，g(x)均为[0，T]上的连续可微函数，且f(0)=0，证明：
(Ⅰ)∫0Tf(x)g(x)dx=∫0Tf'(t)[∫tTg(x)dx]dx；
(Ⅱ)∫0Tf(c)dt=∫0Tf'(t)(T一t)dt．
【正确答案】(Ⅰ)由于g(x)连续，所以∫Ttg(x)dx关于t可导，则利用凑微分及分部积分法有
∫0Tf(x)g(x)dx=∫0Tf(x)d[∫txg(t)dt]=f(x)∫Txg(t)dt｜0T一∫0T[∫Txg(t)dt]f'(x)dx．
由f(0)=0知，上述第二个等号后的第一项为零，于是
∫0Tf(x)g(x)dx=一∫0Tf'(x)[∫Txg(t)dt]dx=∫0Tf'(t)[∫tTg(x)dx]dt．
(Ⅱ)因f(0)=0，由分部积分法有
∫0Tf(t)dt=∫0Tf(t)d(t一T)=f(t)(t一T)｜0T一∫0T(t一T)f'(t)dt
=∫0Tf'(t)(T—t)dt．
【答案解析】