设f(x)连续，且满足f(x)=x＋2∫
0
x
(1－e
t－x
)f(t)dt。
问答题
验证f(x)满足f
''
(x)+f
'
(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f
'
(0)=1；
【正确答案】正确答案：将x=0代入原方程可得f(0)=0，将f(x)变形整理为 f(x)=x+2∫
0
x
(1一e
t－x
)f(t)dt=x+2∫
0
x
f(t)dt一2e
－x
∫
0
x
e
t
f(t)dt， 则f
'
(x)=1+2e
－x
∫
0
x
e
t
f(t)dt， 将x=0代入上式可得f
'
(0)=1。 再在等式两边同时乘以e
x
可得 e
x
f
'
(x)=e
x
+2∫
0
x
e
t
f(t)dt， 求导可得e
x
f
'
(x)+e
x
f
''
(x)=e
x
+2e
x
f(x)， 即f(x)满足f
''
(x)+f
'
(x)一2f(x)=1，且f(0)=0，f
'
(0)=1。
【答案解析】
问答题
求f(x)。
【正确答案】正确答案：由上问可知，f(x)满足 f
''
(x)+f
'
(x)一2f(x)=1。 齐次方程对应的特征方程为λ
2
+λ一2=0，解得λ
1
=1，λ
2
=一2，故齐次方程的通解为C
1
e
x
+C
2
e
－2x
，其中C
1
，C
2
为任意常数。 又设原方程的特解为f
*
(x)=0，代入原方程解得a=
，故 f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
－2x
－
， 由初始条件f(0)=0，f
'
(0)=1可解得
，故 f(x)=
，故 f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
－2x
－
， 由初始条件f(0)=0，f
'
(0)=1可解得
，故 f(x)=
【答案解析】