问答题
已知A，B均是2×4矩阵，其中
Ax＝0有基础解系α
1
＝(1，1，2，1)
T
，α
2
＝(0，－3，1，0)
T
；
Bx＝0有基础解系β
1
＝(1，3，0，2)
T
，β
2
＝(1，2，－1，a)
T
．
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求参数a的值及非零公共解．
【正确答案】正确答案：(I)记C＝(α
1
，α
2
)，则有AC＝A(α
1
，α
2
)＝0，得C
T
A
T
＝0，即A
T
的列向量(即A的行向量)是C
T
x＝0的解向量．
解得C
T
x＝0的基础解系为ξ
1
＝(1，0，0，－1)
T
，ξ
2
＝(－7，1，3，0)
T
． 故 A＝k
1
ξ
2
﹢k
2
ξ
2
＝
其中k
1
，k
2
是任意非零常数． (Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，则非零公共解既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表 出，设非零公共解为η＝x
1
α
1
﹢x
2
α
2
＝x
3
β
1
﹢x
4
β
4
． 于是x
1
α
1
﹢x
2
α
2
－x
3
β
1
－x
4
β
2
＝0． (*) 对(α
1
，α
2
，－β
1
，－β
2
)作初等行变换，有
解得C
T
x＝0的基础解系为ξ
1
＝(1，0，0，－1)
T
，ξ
2
＝(－7，1，3，0)
T
． 故 A＝k
1
ξ
2
﹢k
2
ξ
2
＝
其中k
1
，k
2
是任意非零常数． (Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，则非零公共解既可由α
1
，α
2
线性表出，也可由β
1
，β
2
线性表 出，设非零公共解为η＝x
1
α
1
﹢x
2
α
2
＝x
3
β
1
﹢x
4
β
4
． 于是x
1
α
1
﹢x
2
α
2
－x
3
β
1
－x
4
β
2
＝0． (*) 对(α
1
，α
2
，－β
1
，－β
2
)作初等行变换，有
【答案解析】