填空题
5.[2004年] 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x2)2的秩为_________．
- 1、
【正确答案】
1、2
【答案解析】解一 用配方法化二次型为标准形
f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2
=(2x12+2x1x2+2x1x3)+2x22－2x2x3+2x32
=2(1+x2／2+x3／2)2+
(x2－x3)2．
作线性变换，得
其中
因|P|=1≠0，所作的线性变换是非退化的，故所得二次型的标准形为f(y1，y2，y3)=2y12+3y22／2．该标准形平方项的非零系数的个数为2，且它与原二次型f(x1，x2，x3)等价．由等价的二次型有相同的秩知，原二次型的秩为2．
解二 f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2－2x2x3+2x1x3，
其矩阵
f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2
=(2x12+2x1x2+2x1x3)+2x22－2x2x3+2x32
=2(1+x2／2+x3／2)2+
(x2－x3)2．作线性变换，得
其中
因|P|=1≠0，所作的线性变换是非退化的，故所得二次型的标准形为f(y1，y2，y3)=2y12+3y22／2．该标准形平方项的非零系数的个数为2，且它与原二次型f(x1，x2，x3)等价．由等价的二次型有相同的秩知，原二次型的秩为2．解二 f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2－2x2x3+2x1x3，
其矩阵