【答案解析】解：易得x=0时，f(0)=0。现将题设方程可改写为：

由f(x)连续，知 与 可导，结合4-5x与36xe ^x 可导知f(x)可导，将上式两端求导，得：

化简，得：

在(*)式中令x=0得f"(0)=36，又因(*)式具有二阶导数，将(*)式两端求
导得：
f"(x)+4f"(x)-5f(x)=36(x+2)e ^x 。
综合可得，y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题
的特解。
利用特征方程λ ² +4λ-5=0可以得两个特征根λ ₁ =1，λ ₂ =-5，于是对应齐次微分方程有两个线性无关的特解e ^x 与e ^-5x ，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式y=x(Ax+B)e ^x ，代入方程知待定系数A和B应满足恒等式
[6(2Ax+B)+2A]e ^x =36(x+2)e ^x ，
得到：A=3，B=11。从而方程具有通解
y=C ₁ e ^x +C ₂ e ^-5x +(3x ² +11x)e ^x ，
于是
y"=C ₁ e ^x -5C ₂ e ^-5x +(3x ² +17x+11)e ^x ，
利用初值y(0)=0与y"(0)=36可确定 。综合可得：