选择题 4.设p(x)，q(x)，f(x)均是关于x的连续函数，Y₁(x)，Y₂(x)，Y₃(x)是y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C₁与C₂是两个任意常数，则该非齐次线性微分方程的通解为( )

A、 (C₁+C₂)y₁+(C₂－C₁)y₂+(1－C₂)y₃。
B、 (C₁+C₂)y₁+(C₂－C₁)y₂+(C₁—C₂)y₃。
C、 C₁y₁+(C₂－C₁)y₂+(1－C₂)y₃。
D、 C₁y₁+(C₂－C₁)y₂+(C₁－C₂)y₃。

【正确答案】 C

【答案解析】将选项(C)改写为C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)+y₃作为非齐次方程的解，只需要满足C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)是对应的齐次方程的通解，因此只需要证明(y₁－y₂)与(y₂－y₃)线性无关即可。假设(y₁－y₂)与(y₂－y₃)线性相关，即存在不全为零的数k₁和k₂使得k₁(y₁－y₂)+k₂(y₂－y₃)＝0，即 k₁y₁+(k₂－k₁)y₂－k₂y₃＝0。由于y₁，y₂，y₃线性无关，则根据上式可得k₁＝k₂＝0，与k₁和k₂不全为零矛盾，因此(y₁－y₂)与(y₂－y₃)线性无关，可见选项(C)是非齐次微分方程的通解。故选(C)。