【答案解析】[证] 设λ≠0是AB的任一特征值，α≠0是AB与λ对应的特征向量，即
   (AB)α=λα，    ①
   用B左乘上式两端，有
   (BA)(Bα)=λ(Bα)，    ②
   若记β=Bα，则②式可写成
   (BA)β=λβ，
   由①式知β=Bα≠0(否则就有α=0)．因此λ是矩阵BA的特征值．
   设λ=0是AB的特征值，α≠0是对应的特征向量，即
   (AB)α=0·α=0，
   亦即α是齐次方程组
   (AB)α=0
   的非零解，于是齐次方程组的系数行列式
   |AB|=|A|·|B|=|BA|=0．
   因而齐次方程组(BA)x=0有非零解β，所以β满足
   (BA)β=0·β，
   故λ=0是矩阵BA的特征值．
   综上所述，矩阵AB的特征值都是矩阵BA的特征值，同理可证BA的特征值都是AB的特征值，故(1)中结论成立．
   又若设AB，BA的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则由公式
   tr(AB)=λ₁+λ₂+…+λ_n，
   tr(BA)=λ₁+λ₂+…+λ_n，
   有tr(AB)=tr(BA)，即(2)成立．