问答题
设α=[a
1
，a
2
，…，a
2
]
T
≠0，A=αα
T
，求可逆矩阵P，使P
－1
AP=Λ．
【正确答案】正确答案：(1)先求A的特征值． 利用特征值的定义． 设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=α
T
αξ=λξ． (*) 若α
T
ξ=0，6则λξ=0，又ξ≠0，故λ=0； 若α
T
ξ≠0，(*)式两端左边乘α
T
，得α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ)． 因α
T
ξ≠0，故λ=α
T
α=
(2)再求A的对应于λ的特征向量． 因为A=αα
T
，当λ=0时，(λE－A)X=－αα
T
X=0，因为满足α
T
X=0的X必满足αα
T
X=0，故当λ=0时，对应的特征方程是a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0．对应λ=0的n－1个特征向量为 ξ
1
=[a
2
，－a
1
，…，0]
T
， ξ
2
=[
3
，0，－a
1
，0]
T
， …… ξ
n－1
=[a
n
，0，0，…，－a
1
]
T
． 当λ=
=α
T
α时，对矩阵λE－A=α
T
αE－αα
T
两端右边乘α，得 (λE－A)α=(α
T
αE－αα
T
)α=(α
T
α)α－α(α
T
α)=0， 故知α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
即是所求ξ
n
． (3)最后由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n
，得可逆矩阵P．
(2)再求A的对应于λ的特征向量． 因为A=αα
T
，当λ=0时，(λE－A)X=－αα
T
X=0，因为满足α
T
X=0的X必满足αα
T
X=0，故当λ=0时，对应的特征方程是a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0．对应λ=0的n－1个特征向量为 ξ
1
=[a
2
，－a
1
，…，0]
T
， ξ
2
=[
3
，0，－a
1
，0]
T
， …… ξ
n－1
=[a
n
，0，0，…，－a
1
]
T
． 当λ=
=α
T
α时，对矩阵λE－A=α
T
αE－αα
T
两端右边乘α，得 (λE－A)α=(α
T
αE－αα
T
)α=(α
T
α)α－α(α
T
α)=0， 故知α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
即是所求ξ
n
． (3)最后由ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n
，得可逆矩阵P．
【答案解析】