问答题
设A，B为同阶方阵，
问答题
如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
【正确答案】
【答案解析】若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P
-1
AP=B，故
|λE-B|=|λE-P -1 AP|=|P -1 λEP-P -1 AP|
=|P -1 (λE-A)P|=|P -1 ||λE-A||P|=|λE-A|．
|λE-B|=|λE-P -1 AP|=|P -1 λEP-P -1 AP|
=|P -1 (λE-A)P|=|P -1 ||λE-A||P|=|λE-A|．
问答题
举一个二阶方阵的例子说明第一小题的逆命题不成立．
【正确答案】
【答案解析】令
问答题
当A，B均为实对称矩阵时，试证第一小题的逆命题成立．
【正确答案】
【答案解析】由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等．
记特征多项式的根为λ 1 ，…，λ n ，则有A相似于
，B也相似于
即存在可逆矩阵P，Q使
记特征多项式的根为λ 1 ，…，λ n ，则有A相似于
，B也相似于
即存在可逆矩阵P，Q使