解答题
24.设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．
【正确答案】总体X的密度函数和分布函数分别为
设x1，x2，…，xn为总体X的样本观察值，似然函数为L(θ)=
(i=1，2，…，n)．
当0＜xi＜0(i=1，2，…，n)时，L(θ)=
＞0，且当θ越小时L(θ)越大，
所以θ的最大似然估计值为
=max{x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为
=max{X1，X2，…，Xn}．因为
=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为
=P(max{X1，…，Xn}≤x)=P(X1≤x)…P(Xn≤x)=Fn(x)=
则
的概率密度为
=max{X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．
设x1，x2，…，xn为总体X的样本观察值，似然函数为L(θ)=
(i=1，2，…，n)．当0＜xi＜0(i=1，2，…，n)时，L(θ)=
＞0，且当θ越小时L(θ)越大，所以θ的最大似然估计值为
=max{x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为=max{X1，X2，…，Xn}．因为=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为=P(max{X1，…，Xn}≤x)=P(X1≤x)…P(Xn≤x)=Fn(x)=则
的概率密度为=max{X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．【答案解析】