解答题
21.设二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x2＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y21＋y22＋4y23，求参数a，b及正交矩阵Q．
【正确答案】二次型f＝2x21＋2x22＋ax23＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3的矩阵形式为f＝XTAX，其中A＝
，X＝
．因为QTAQ＝B＝
，所以A～B(因为正交矩阵
的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．
而｜λE－A｜＝λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)，所以有
λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)＝(λ－1)2(λ－4)，
解得a＝2，b＝1．
当λ1＝λ2＝1时，由(E－A)X＝0得ξ1＝
，ξ2＝
，
当λ3＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ3＝
，显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为
γ1＝
，γ2＝
，γ3＝
，则Q＝
，X＝．因为QTAQ＝B＝，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．
而｜λE－A｜＝λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)，所以有
λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)＝(λ－1)2(λ－4)，
解得a＝2，b＝1．
当λ1＝λ2＝1时，由(E－A)X＝0得ξ1＝
，ξ2＝，当λ3＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ3＝
，显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为γ1＝
，γ2＝，γ3＝，则Q＝【答案解析】