【答案解析】[证] (Ⅰ)已知Aβ=A(ξ₁+ξ₂+ξ₃)=λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+λ₃ξ₃．
   若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有
   Aβ=μβ=μ(ξ₁+ξ₂+ξ₃)=λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+λ₃ξ₃，
   从而得(μ-λ₁)ξ₁+(μ-λ₂)ξ₂+(μ-λ₃)ξ₃=0．
   ξ₁，ξ₂，ξ₃是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，从而得λ₁=λ₂=λ₃=μ，这和λ₁，λ₂，λ₃互不相同矛盾．故β=ξ₁+ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．
   (Ⅱ)法一  用线性无关的定义证
   假设存在数k1，k2，k3，使得k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0．
   将β=ξ₁+ξ₂+ξ₃及Aξ_i=λ_iξ_i(i=1，2，3)代入上式得
   
   整理得
   因ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，则有
   
   又λ_i(i=1，2，3)互不相同．故方程组(*)的系数矩阵的行列式
   
   故方程组(*)仅有零解，即k₁=k₂=k₃=0，所以β，Aβ，A²β线性无关．
   法二  用秩来证因
   
   其中