问答题
设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx， x=(x1，x2，…，xn)T．
证明：f在条件
证明：f在条件
【正确答案】[详解] 由题设知，存在正交变换x=Qy，把二次型f=xTAx化为标准形
[*]
其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值且λ1，λ2，…，λn全是实数．
不妨设λ1，λ2，…，λn中的最大值为λ1，注意到[*]时
有 [*]
于是 [*]
说明f在条件[*]下的最大值不超过A的最大特征值λ1．
为证λ1是f在xTx=1上的最大值，只需证明：在xTx=1上存在点x，使f=xTAx=λ1．
在单位球面yTy=1上取一点y0=(1，0，…，0)T，则有
[*]
若令x0=Qy0，则[*]，并且[*]
故λ1是二次型f=xTAx在xTx=1下的最大值．
[*]
其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值且λ1，λ2，…，λn全是实数．
不妨设λ1，λ2，…，λn中的最大值为λ1，注意到[*]时
有 [*]
于是 [*]
说明f在条件[*]下的最大值不超过A的最大特征值λ1．
为证λ1是f在xTx=1上的最大值，只需证明：在xTx=1上存在点x，使f=xTAx=λ1．
在单位球面yTy=1上取一点y0=(1，0，…，0)T，则有
[*]
若令x0=Qy0，则[*]，并且[*]
故λ1是二次型f=xTAx在xTx=1下的最大值．
【答案解析】[分析] 先通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形，这样可方便地讨论f的最值问题．
[评注] 若通过一般的合同变换x=Py，化二次型xTAx为标准形，则不能用上述方法证明，因为此时PTP≠E，这一点是值得注意的．
[评注] 若通过一般的合同变换x=Py，化二次型xTAx为标准形，则不能用上述方法证明，因为此时PTP≠E，这一点是值得注意的．