问答题
已知二次型
【正确答案】[解]
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即经坐标变换x=Cy其中[*]
有
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得矩阵B1有特征值为：11，0，0．
解方程组(11E-B1)x=0得矩阵B1对应于特征值λ=11的特征向量为α1=(1，-3，1)T
解方程组(OE-B1)X一0得矩阵B1对应于特征值λ=0的特征向量为α2=(3，1，0)T,α3=(-1，0，1)T
对α2，α3正交化，有
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再单位化，有
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(Ⅲ)令P=CQ，则P可逆，且
PTAP=(CQ)TA(CQ)=QT(CTAC)Q=QTEQ=E
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即经坐标变换x=Cy其中[*]
有
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得矩阵B1有特征值为：11，0，0．
解方程组(11E-B1)x=0得矩阵B1对应于特征值λ=11的特征向量为α1=(1，-3，1)T
解方程组(OE-B1)X一0得矩阵B1对应于特征值λ=0的特征向量为α2=(3，1，0)T,α3=(-1，0，1)T
对α2，α3正交化，有
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再单位化，有
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(Ⅲ)令P=CQ，则P可逆，且
PTAP=(CQ)TA(CQ)=QT(CTAC)Q=QTEQ=E
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【答案解析】[评注] 对于两个对称矩阵A和B，如果A是正定矩阵，则有CTAC=E(用配方法可求出可逆矩阵C)，因为CTBC仍是对称矩阵，可用正交矩阵将其相似对角化，即Q-1(CTBC)Q=A
那么令p=CQ，则有
PTAP=QT(CTAC)Q=QTEQ=E
pTBP=Q-1(CTBC)Q=A
即可用同一个可逆矩阵把A，B同时合同对角化．
那么令p=CQ，则有
PTAP=QT(CTAC)Q=QTEQ=E
pTBP=Q-1(CTBC)Q=A
即可用同一个可逆矩阵把A，B同时合同对角化．