解答题
15.过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积V．
【正确答案】
设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为
y′0=ex0，
切线方程为
y－y0=ex0(x－x0)．
它经过点(0，0)，所以－y0=－x0ex0．又因y0=ex0，代入求得x0=1，
从而y0=ex0=e，切线方程为y=ex．
(Ⅰ)取水平条面积元素，则D的面积
(积分
ln ydy为反常积分，
yln y=0根据洛必达法则得到)
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
dV1=[π(1－lny)2－π(1－
)2]dy，
从而 V1=
dy
=π(yln2y－4ylny＋4y＋
设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为
y′0=ex0，
切线方程为
y－y0=ex0(x－x0)．
它经过点(0，0)，所以－y0=－x0ex0．又因y0=ex0，代入求得x0=1，
从而y0=ex0=e，切线方程为y=ex．
(Ⅰ)取水平条面积元素，则D的面积
(积分
ln ydy为反常积分，yln y=0根据洛必达法则得到)(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
dV1=[π(1－lny)2－π(1－
)2]dy，从而 V1=
dy=π(yln2y－4ylny＋4y＋
【答案解析】