解答题
17.已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f'(η)f'(ζ)=1．
【正确答案】(Ⅰ)即证
在(0，1)存在零点．
由于F(x)在[0，1]连续，且F(0)=-1，F(1)=1，即F(0).F(1)＜0，
由连续函数的零点存在性定理知，
ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ．
(Ⅱ)利用题(Ⅰ)的结果，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，
η∈(0，ξ)，使得
在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理知，
ζ∈(ξ，1)，使得
在(0，1)存在零点．由于F(x)在[0，1]连续，且F(0)=-1，F(1)=1，即F(0).F(1)＜0，
由连续函数的零点存在性定理知，
ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ．(Ⅱ)利用题(Ⅰ)的结果，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，
η∈(0，ξ)，使得在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理知，
ζ∈(ξ，1)，使得【答案解析】