填空题
欧拉方程x
2
y''+xy'-4y=x
3
的通解为 1．
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}正确答案：y=C
1
x
2
+
【答案解析】解析：令x=e
t
，则
原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e
3t
，即 (D
2
-4)y=e
3t
， (*) 方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r
2
-4=0，有根r
1
=2，r
2
=-2，故齐次方程的通解为 Y=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
=C
2
x
2
+
因为f(t)=e
3t
，λ=3不是特征方程的根，故可令y
*
=ae
3t
是方程(*)的一个特解，代入原方程x
2
y''+xy'-4y=x
3
中，解得a=
，即y
*
=
e
3t
，因此原方程的通解为 y=Y+y
*
=C
1
x
2
+
x
3
． 故应填y=C
1
x
2
+
原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e
3t
，即 (D
2
-4)y=e
3t
， (*) 方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r
2
-4=0，有根r
1
=2，r
2
=-2，故齐次方程的通解为 Y=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
=C
2
x
2
+
因为f(t)=e
3t
，λ=3不是特征方程的根，故可令y
*
=ae
3t
是方程(*)的一个特解，代入原方程x
2
y''+xy'-4y=x
3
中，解得a=
，即y
*
=
e
3t
，因此原方程的通解为 y=Y+y
*
=C
1
x
2
+
x
3
． 故应填y=C
1
x
2
+