本题考查公安队伍建设。

“忠诚、为民、公正、廉洁”是人民警察的核心价值观。

A项正确，办案民警根据违法行为人违法行为的性质、情节和危害程度分别予以相应处罚，体现的是“公正”的要求。

B项正确，将巡逻中遇到的突发心脏病老人送往医院，体现的是“为民”的要求。

C项错误，侦查破案、缉拿通缉犯是民警应当履行的义务，与堂弟分享悬赏金的做法违规。

D项错误，深入群众与群众打成一片是好事，有助于工作开展。但是帮助居民推销商品超过了民警的工作职责，还会影响民警的公正廉洁形象，做法不可取，如果群众确实存在困难，民警可以协助将问题反映给有关部门。

故正确答案为AB。