设总体X的概率分布为
其中参数θ∈(0，1)未知，以N
i
表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)．试求常数a
1
，a
2
，a
3
，使
其中参数θ∈(0，1)未知，以N
i
表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)．试求常数a
1
，a
2
，a
3
，使
【正确答案】正确答案：记p
1
=1-θ，p
2
=θ-θ
2
，p
3
=θ
2
，则可知 N
i
～B(n，p
i
)，EN
i
=np，i=1，2．3 且DN
1
=np
1
(1-p
1
)=nθ(1-θ) 于是ET=
a
i
EN
i
=
a
i
np
i
=n[a
1
-(a
2
-a
1
)θ+(a
3
-a
2
)θ
2
] 为使T为θ的无偏估计量，即要求
θ∈(0，1)时有 ET=θ即n[a
1
+(a
2
-a
1
)θ+(a
3
-a
2
)θ
2
]=θ 比较系数即得：
故a
1
=0，a
2
=a
3
=1／n． 又由N
1
+N
2
+N
3
=n，得：
a
i
EN
i
=
a
i
np
i
=n[a
1
-(a
2
-a
1
)θ+(a
3
-a
2
)θ
2
] 为使T为θ的无偏估计量，即要求
θ∈(0，1)时有 ET=θ即n[a
1
+(a
2
-a
1
)θ+(a
3
-a
2
)θ
2
]=θ 比较系数即得：
故a
1
=0，a
2
=a
3
=1／n． 又由N
1
+N
2
+N
3
=n，得：
【答案解析】