问答题
设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫
0
x
f'(x－t)t
2
dt+sinx，求f(x)．
【正确答案】正确答案：f(x)=2∫
0
x
f'(x－t)t
2
dt+sinx=－2∫
0
x
t
2
d[f(x－t)]+sinx =－2[t
2
f(x－t)｜
0
x
－2∫
0
x
tf(x－t)dt]+sinx =－2[x
2
(0)－0－2∫
x
0
(x－u)f(u)(－du)]+sinx =－2x
2
(0)+4x∫
0
x
f(u)du－4∫
0
x
uf(u)du+sinx， f'(x)=－4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+4xf(x)－4xf(x)+cosx =－4xf(0)+4∫
0
x
f(u)du+cosx， f''(x)=－4f(0)+4f(x)－sinx． 由上述表达式可见有f(0)=0，f'(0)=1．所以由f''(x)－4f(x)=－sinx，解得 f(x)=C
1
e
2x
+C
2
e
－2x
+
sinx． 由f(0)=0，f'(0)=1，得C
1
+C
2
=0，2C
1
－2C
2
+
=1，所以
sinx． 由f(0)=0，f'(0)=1，得C
1
+C
2
=0，2C
1
－2C
2
+
=1，所以
【答案解析】