填空题 设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值是______．
  • 1、
【正确答案】 1、[*]．    
【答案解析】解 因λ为A的特征值，故存在非零列向量X，使
AX=λX
两端左乘A*并利用A*A=｜A｜E，得
｜A｜X=λA*X
因为A可逆，故λ≠0，两端同乘[*]，得
[*]
两端左乘A*，得
[*]
两端同加X，得
[*]
由定义即知[*]为(A*)2+E的一个特征值．
本题主要考查特征值和特征向量的定义与性质．如果可逆方阵A有特征值λ，则[*]为A-1的特征值，[*]为A*的特征值，这是常常用到的一个性质．如果λ为方阵B的特征值，f(B)为B的多项式，则f(λ)为f(B)的特征值．这些结论都可以利用特征值和特征向量的定义推出来．更进一步，有：如果λ1，λ2，…，λn为n阶方阵B的全部特征值，则f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)为方阵f(B)的全部特征值利用这些结论，就很容易写出本题答案来：令多项式f(x)=x2+1，则(A*)2+E=f(A*)．因为A*有特征值[*]，故f(A*)有特征值[*]．