以下三个命题，
①若数列{u
n
}收敛于A，则其任意子数列{
}必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列{
}必定收敛于A；
②若单调数列{x
n
}的某一子数列{
【正确答案】
D
【答案解析】解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{u
n
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜u
n
一A｜＜ε． 则当n
i
＞N时，恒有 ｜
一A｜＜ε． 因此数列{
}也收敛于A，可知命题正确． 对于命题②，不妨设数列{x
n
}为单调增加的，即 x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…， 其中某一给定子数列{
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有 ｜
—A｜＜ε． 由于数列{x
n
}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有
， 从而 ｜x
n
一A｜＜ε． 可知数列{x
n
}收敛于A因此命题正确． 对于命题③，因
=A，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
： 当2n＞N
1
时，恒有｜x
2n
一A｜＜ε； 当2n+1＞N
2
时，恒有｜ x
2n+1
一A｜＜ε． 取N=max{N
1
，N
2
)，则当n＞N时，总有｜x
n
一A｜＜ε．因此
一A｜＜ε． 因此数列{
}也收敛于A，可知命题正确． 对于命题②，不妨设数列{x
n
}为单调增加的，即 x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…， 其中某一给定子数列{
}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n
i
＞N时，恒有 ｜
—A｜＜ε． 由于数列{x
n
}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在n
i
≤n≤n
i+1
，有
， 从而 ｜x
n
一A｜＜ε． 可知数列{x
n
}收敛于A因此命题正确． 对于命题③，因
=A，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N
1
，N
2
： 当2n＞N
1
时，恒有｜x
2n
一A｜＜ε； 当2n+1＞N
2
时，恒有｜ x
2n+1
一A｜＜ε． 取N=max{N
1
，N
2
)，则当n＞N时，总有｜x
n
一A｜＜ε．因此