解答题
10.(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
【正确答案】(Ⅰ)由于A的秩为2，故0是A的一个特征值．由题设可得
所以，-1是A的一个特征值，且属于-1的特征向量为k1(1，0，-1)T，k1为任意非零常数；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为k2(1，0，1)T，k2为任意非零常数．
设x=(x1，x2，x3)T为A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，A的属于不同特征值的特征向量相
互正交，则
解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0)T，于是属于0的特征向量为是k3(0，1，0)T，其中k3为任意非零常数．
(Ⅱ)今矩阵P=
，则P-1AP=
，于是
所以，-1是A的一个特征值，且属于-1的特征向量为k1(1，0，-1)T，k1为任意非零常数；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为k2(1，0，1)T，k2为任意非零常数．
设x=(x1，x2，x3)T为A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，A的属于不同特征值的特征向量相
互正交，则
解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0)T，于是属于0的特征向量为是k3(0，1，0)T，其中k3为任意非零常数．
(Ⅱ)今矩阵P=
，则P-1AP=，于是【答案解析】