问答题
(Ⅰ)设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，x0∈[a，b]，证明：
f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
等号成立当且仅当x=x0，并证明f(x)在(a，b)内是上凸的函数；
(Ⅱ)设f(x)∈C[0，1]且f(x)＞0，证明：
f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，
等号成立当且仅当x=x0，并证明f(x)在(a，b)内是上凸的函数；
(Ⅱ)设f(x)∈C[0，1]且f(x)＞0，证明：
【正确答案】(Ⅰ)由泰勒公式得
，其中ξ位于x0与x之间．
因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0．
任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，取
，因为f(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)。等号成寺当日仅当x=x0，于是
，
两式相加得
，由凹凸性定义得f(x)在(a，b)内是上凸的函数．
(Ⅱ)令
，所以ψ(t)＜ψ(t0)+ψ'(t0)(t-t0)，于是ψ[f(x)]＜ψ(t0)+ψ'(t0)[f(x)-t0]，两边积分得
，其中ξ位于x0与x之间． 因为f"(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当x=x0．
任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，取
，因为f(x)＜0，所以f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x-x0)。等号成寺当日仅当x=x0，于是， 两式相加得
，由凹凸性定义得f(x)在(a，b)内是上凸的函数． (Ⅱ)令
，所以ψ(t)＜ψ(t0)+ψ'(t0)(t-t0)，于是ψ[f(x)]＜ψ(t0)+ψ'(t0)[f(x)-t0]，两边积分得【答案解析】