解答题
8.(2002年)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。
【正确答案】因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0，由最值定理，知f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m。即m≤f(x)≤M，又g(x)＞0故
mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)。
∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx，
由介值定理知，存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=
mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)。
∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx，
由介值定理知，存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=
【答案解析】