选择题
设4阶矩阵A=(a
ij
)不可逆,a
12
的代数余子式A
12
≠0,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为矩阵A的列向量组,A
*
为A的伴随矩阵,则方程组A
*
x=0的通解为______
A、
x=k1α1+k2α2+k3α3,其中k1,k2,k3为任意常数
B、
x=k1α1+k2α2+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数
C、
x=k1α1+k2α3+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数
D、
x=k1α2+k2α3+k3α4,其中k1,k2,k3为任意常数
【正确答案】
C
【答案解析】
[考点] 本题考查齐次线性方程组通解的结构、伴随矩阵的秩及A与A*的关系． 因为A12≠0,则r(A*)≥1,伴随矩阵秩的公式而A不可逆,所以r(A)=3,r(A*)=1,因此只需找到A*x=0的3个线性无关的解就构成基础解系．又因为A*A=|A|E=0,则A的每一列α1,α2,α3,α4是A*x=0的解向量,由A12≠0可知α1,α3,α4线性无关(向量组无关,则其延伸组无关),所以A*x=0的通解为x=k1α1+k2α3+k3α4．
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