解答题
21.[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(A)=g(A)，f(B)=g(B)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f''(ξ)=g''(ξ)．
【正确答案】因f(x)，g(x)在(a，b)上连续，不妨设存在x1≤x2(x1，x2∈[a，b])，使f(x1)=M=g(x2)，其中M为f(x)，g(A)在[a，b]上相等的最大值．令F(x)=f(x)一g(x)．若x1=x2，令η=x1，则F(η)=f(x1)一g(x1)=M—M=0；若x1＜x2，则
F(x1)=f(x1)一g(x1)=M—g(x1)≥0， F(x2)=f(x2)一g(x2)=f(x2)一M≤0．又F(x)在[a，b]上连续，由介值定理知，存在η∈(x1，x2)
(a，b)使F(η)=0．
由题设，有F(A)=f(B)一g(A)=0，F(B)=f(B)一g(B)=0．对F(x)分别在[a，η]、 [η，b]上使用罗尔定理得到：存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)使F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0．又因F'(x)可导，对F'(x)在[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理得到：存在ξ∈(ξ1，ξ2)
F(x1)=f(x1)一g(x1)=M—g(x1)≥0， F(x2)=f(x2)一g(x2)=f(x2)一M≤0．又F(x)在[a，b]上连续，由介值定理知，存在η∈(x1，x2)
(a，b)使F(η)=0．由题设，有F(A)=f(B)一g(A)=0，F(B)=f(B)一g(B)=0．对F(x)分别在[a，η]、 [η，b]上使用罗尔定理得到：存在ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)使F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0．又因F'(x)可导，对F'(x)在[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理得到：存在ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】