问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得e
η-ξ
[f(η)+f"(η)]=1．
【正确答案】
【答案解析】[证](1)F(x)=e
x
f(x)，则由拉格朗日中值定理，存在一个η∈(a，b)，使得
即
(因为f(b)=f(a)=1)．
(2)又令φ(x)=e x ，则由拉格朗日中值定理，存在一个ξ∈(a，b)，使得
由式①、式②可得e η [f(η)+f"(η)]=e ξ ，即e η-ε [f(η)+f"(η)]=1． [解析] e η-ξ [f(η)+f"(η)]=1
e
η
[f(η)+f"(η)]=e
ξ
即
(因为f(b)=f(a)=1)．
(2)又令φ(x)=e x ，则由拉格朗日中值定理，存在一个ξ∈(a，b)，使得
由式①、式②可得e η [f(η)+f"(η)]=e ξ ，即e η-ε [f(η)+f"(η)]=1． [解析] e η-ξ [f(η)+f"(η)]=1
e
η
[f(η)+f"(η)]=e
ξ