问答题
某人有一项价值为a的财产，如果发生火灾，他将遭受b的经济损失，如果购买保险，他将支付c的投保费，如果火灾发生，保险公司将支付d的赔偿费。假设火灾发生的概率为w，设r为每一元钱的赔偿承诺所需支付的投保费，即r=c/d，可以叫做保险价格，假设给定r，对于风险规避者来说，r＜1。那么，此人在什么条件下才会购买保险?购买多少保险d?相应的决策就是支付多少保险费c?
【正确答案】(1)如果他决定购买保险：
当发生火灾时，其最终财产价值为x1=a-b-c+d
当不发生火灾时，其最终财产价值为x2=a-c
(2)如果他决定不购买保险：
当发生火灾时，其最终财产价值为x3=a-b
当不发生火灾时，其最终财产价值为x4=a
(3)设此人的效用函数为u，他在购买保险时的效用为u(p)=w·u(x1)+(1-w)·u(x2)
在未购买保险时的效用为u(q)=w·u(x3)+(1-w)·u(x4)
只有当u(p)＞u(q)时，他才会购买保险。
显然，投保人的期望效用取决于支付的保费c，或者购买的保险d，即有u(p)=u(q)时，投保人选择c，使得：
maxu(c)=u(p)=w·u(x1)+(1-w)·u(x2)
由一阶条件u'(c)=0可得：
[*]
即
[*]
如果效用最大化的二阶条件满足，投保人满足上式的投保数量c*将是投保人的最优保险。
【答案解析】