设α
1
,α
2
……α
n
是n维向量组，证明α
1
,α
2
……α
n
线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．
【正确答案】正确答案：必要性：由于n维的向量组α
1
,α
2
……α
n
线性无关，则对于任意一个n维向量β，则α
1
,α
2
……α
n
，β必线性相关，从而存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
n
，λ，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
+λβ=0． 若λ=0，则k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0，由α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关得k
1
=k
2
=…=k
n
=0，这与k
1
，k
2
，…，k
n
，λ不全为零矛盾，从而λ≠0，于是
【答案解析】解析：本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定．要求考生掌握n个n维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的n阶行列式不为零．