【正确答案】 A

【答案解析】 在题设的积分等式中令x=0可得f(0)=1．又题设积分等式可改写成
   [*]，
   因f(x)连续，于是上式右端三项都可导，即f(t)可导，将上式两端求导数，得
   [*]
   即[*]．在所得等式中令x=0又得f'(0)=0．不难发现所得等式右端两项还可导，这表明f"(x)存在，且满足．f"(x)=-4cos2x-4f(x)．
   由此可见y=f(x)是如下初值问题的特解：
   [*]
   方程y"+4y=0对应的特征方程是λ²+4=0，特征根是λ₁=2i与λ₂=-2i，从而可设方程y"+4y=-4cos2x的特解形式为y*=x(Acos2x+Bsin2x)．记[*]，
   求导可得[*]，于是
   [*]
   可确定常数A=0，B=-1．综合即得(*)方程的通解为y=C₁cos2x+C₂sin2x-xsin2x．利用初值y(0)=1可确定C₁=1．利用初值y'(0)=0可确定C₂=0，故所求函数f(x)=cos2x-xsin2x．应选A．