问答题
设A是n阶矩阵，证明：
问答题
r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT；
【正确答案】若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即
[*]
于是[*]显然α，β都不是零向量且A=αβT；
反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．
[*]
于是[*]显然α，β都不是零向量且A=αβT；
反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．
【答案解析】
问答题
r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
【正确答案】因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．
令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
【答案解析】
问答题
(Ⅰ)设n维向量α1，α2，α3，α4线性无关．βi=αi+tα4，i=1，2，3，证明：β1，β2，β3对任意t都线性无关．
(Ⅱ)设n维向量α1，α2，α3，α4满足
(Ⅱ)设n维向量α1，α2，α3，α4满足
【正确答案】(Ⅰ)设有数是k1，k2，k3使得
k1β1+k2β2+k3β3=0，
代入已知条件。得
k1(α1+tα4)+k2(α2+tα4)+k3(α3+tα4)=0，
整理得[*]
因已知α1，α2，α3，α4线性无关，故上式成立，当且仅当
[*]
即当且仅当k1=k2=k3=0，故对任意t，β1，β2，β3都线性无关．
(Ⅱ)设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0．
代入已知条件得
k1(α1+λ1ξ)+k1(α2+2λ2ξ)+k3(α3+3λ3ξ)+k4(α4+4λ4ξ)=0，
[*]
故λ1，λ2，λ3，λ4满足λ1+4λ2+9λ3+16λ4=0时，对任意向量ξ，向量组β1，β2，β3，β4均线性相关．
k1β1+k2β2+k3β3=0，
代入已知条件。得
k1(α1+tα4)+k2(α2+tα4)+k3(α3+tα4)=0，
整理得[*]
因已知α1，α2，α3，α4线性无关，故上式成立，当且仅当
[*]
即当且仅当k1=k2=k3=0，故对任意t，β1，β2，β3都线性无关．
(Ⅱ)设有数k1，k2，k3，k4，使得
k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0．
代入已知条件得
k1(α1+λ1ξ)+k1(α2+2λ2ξ)+k3(α3+3λ3ξ)+k4(α4+4λ4ξ)=0，
[*]
故λ1，λ2，λ3，λ4满足λ1+4λ2+9λ3+16λ4=0时，对任意向量ξ，向量组β1，β2，β3，β4均线性相关．
【答案解析】