问答题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
(Ⅲ) 求A及
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A；
(Ⅲ) 求A及
【正确答案】由A的特征值求
的特征值，由A与对角矩阵相似知
和对角矩阵相似．
(Ⅰ) 依题意，因为
所以矩阵A有一个特征值是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特征向量．
又因为Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以α1，α2是矩阵A属于λ=0的特征向量．
所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T ( k1，k2是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)T(K≠0为常数)．
(Ⅱ) 由于α1，α2不正交，所以要做Schmidt正交化：
β1=α1(-1，2，-1)T，
单位化：
则
(Ⅲ) 由A(α1，α2，α)=(0，0，3α)，有
，则
其中P=(α1，α2，α)．所以
的特征值，由A与对角矩阵相似知和对角矩阵相似．(Ⅰ) 依题意，因为
所以矩阵A有一个特征值是3，α=(1，1，1)T是A属于3的特征向量．
又因为Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，所以α1，α2是矩阵A属于λ=0的特征向量．
所以矩阵A的特征值是3，0，0，且λ=0的特征向量为
k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T ( k1，k2是不全为0的常数)，λ=3的特征向量为k(1，1，1)T(K≠0为常数)．
(Ⅱ) 由于α1，α2不正交，所以要做Schmidt正交化：
β1=α1(-1，2，-1)T，
单位化：
则
(Ⅲ) 由A(α1，α2，α)=(0，0，3α)，有
，则其中P=(α1，α2，α)．所以
【答案解析】[考点提示] 矩阵的特征值和特征向量、对角矩阵、相似矩阵．