问答题
设A是n阶矩阵，A的第i行第j列元素a
ij
=i·j(i，j=1，2，…，n)．B是n阶矩阵，B的第i行第j列元素b
ij
=i
2
(i=1，2，…，n)．
证明：A相似于B．
证明：A相似于B．
【正确答案】
【答案解析】[证] 由题设条件知
A各行元素成比例，故r(A)=1，λ=0是A的n-1重特征值；
A的非零特征值为
，且A是实对称矩阵，故
B各行元素成比例，故r(B)=1，μ=0是B的n-1重特征值，B的非零特征值为
．
B对应于μ=0有n-1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵P，使得
故
．由相似关系的传递性，得证
A各行元素成比例，故r(A)=1，λ=0是A的n-1重特征值；
A的非零特征值为
，且A是实对称矩阵，故
B各行元素成比例，故r(B)=1，μ=0是B的n-1重特征值，B的非零特征值为
．
B对应于μ=0有n-1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵P，使得
故
．由相似关系的传递性，得证