问答题
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．
【正确答案】正确答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)
零点．设 g″(x)= —4．令F(x)=f(x)—g(x)则
ξ∈(0，2)，使f″(ξ)= —4
F″(ξ)=0． 注意g(x)= —2x
2
+c
1
x+c
2
，于是 F(0)=f(0)—g(0)= —c
2
， F(1)=f(1)—g(1)=4—c
1
—c
2
， F(2)=f(2)—g(2)=8—2c
1
—c
2
． 为使F(0)=F(1)=F(2)，取c
1
=4，c
2
=0，F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x
2
+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η
1
∈(0，1)与η
2
∈(1，2)使得F′(η
1
)=F′(η
2
)=0，由题设知F′(x)在区间[η
1
，η
2
]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η
1
，η
2
]上对导函数F′(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η
1
，η
2
)
零点．设 g″(x)= —4．令F(x)=f(x)—g(x)则
ξ∈(0，2)，使f″(ξ)= —4
F″(ξ)=0． 注意g(x)= —2x
2
+c
1
x+c
2
，于是 F(0)=f(0)—g(0)= —c
2
， F(1)=f(1)—g(1)=4—c
1
—c
2
， F(2)=f(2)—g(2)=8—2c
1
—c
2
． 为使F(0)=F(1)=F(2)，取c
1
=4，c
2
=0，F(x)=f(x)—g(x)=f(x)—(—2x
2
+4x)满足F(0)=F(1)=F(2)=0．由于函数F(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(x)应用罗尔定理，从而知分别存在η
1
∈(0，1)与η
2
∈(1，2)使得F′(η
1
)=F′(η
2
)=0，由题设知F′(x)在区间[η
1
，η
2
]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η
1
，η
2
]上对导函数F′(x)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η
1
，η
2
)
【答案解析】