解答题
19.设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ＝α1＋α2＋α3．
①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．
②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ，求解线性方程组BX＝β．
①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．
②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ，求解线性方程组BX＝β．
【正确答案】①设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关，
γ＝α1＋α2＋α3，
Aγ＝aα1＋bα2＋cα3，
A2γ＝a2α1＋b2α2＋c2α3，
A3γ＝a3α1＋b3α2＋c3α3，
则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为
，
其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)＝r(α1，α2，α3)＝3，因此γ，Aγ，A2γ无关．
γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关．
②γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝α1－α2＋2α3，A2γ＝α1＋α2＋4α3，A3γ＝α1－α2＋8α3，
B＝(γ，Aγ，A2γ)＝(α1，α2，α3)
β＝A3γ＝(α1，α2，α3)
则BX＝β具体写出就是
由于α1，α2，α3线性无关，它和
γ＝α1＋α2＋α3，
Aγ＝aα1＋bα2＋cα3，
A2γ＝a2α1＋b2α2＋c2α3，
A3γ＝a3α1＋b3α2＋c3α3，
则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为
，其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)＝r(α1，α2，α3)＝3，因此γ，Aγ，A2γ无关．
γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关．
②γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝α1－α2＋2α3，A2γ＝α1＋α2＋4α3，A3γ＝α1－α2＋8α3，
B＝(γ，Aγ，A2γ)＝(α1，α2，α3)
β＝A3γ＝(α1，α2，α3)
则BX＝β具体写出就是
由于α1，α2，α3线性无关，它和
【答案解析】