求下列微分方程的通解：
(Ⅰ)(x-2)dy=[y+2(x-2)
3
]dx；
(Ⅱ)(1+y
2
)dx=(arctany-x)dy；
(Ⅲ)y"+2y=sinx；
(Ⅳ)e
y
y"-
=x
2
(Ⅴ)
(Ⅵ)(x
2
-3y
2
)x+(3x
2
-y
2
)
=0；
=x
2
(Ⅴ)
(Ⅵ)(x
2
-3y
2
)x+(3x
2
-y
2
)
=0；
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)原方程可改写为
，这是一阶线性微分方程，用积分因子
=2(x-2)，两边求积分即得通解
即 y=C(x-2)+(x-2)
3
，其中C是任意常数．
两边求积分即得通解
即 x=Ce
-arctany
+arctany-1，其中C是任意常数．
(Ⅵ)题设方程为齐次微分方程，方程可改写成
这是一个变量可分离型方程，其通解为y(e
u
+u)=C．所以原微分方程的通解为
+x=C． (Ⅷ)因为y"cosy=(siny)"，令u=siny，则原微分方程化为 u"+u=x． 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e
-x
(C+∫xe
x
dx)=Ce
-x
+x-1 所以原微分方程的通解为siny=Ce
-x
+x-1． (Ⅸ)当y≠0时，将原方程变为如下形式：
所以原方程是一个全微分方程，其通解为
(Ⅺ)对应的特征方程为λ
2
+9=(λ-3i)(λ+3i)=0
特征根为λ
1
=3i，λ
2
=-3i，由方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y
*
=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得
，这是一阶线性微分方程，用积分因子
=2(x-2)，两边求积分即得通解
即 y=C(x-2)+(x-2)
3
，其中C是任意常数．
两边求积分即得通解
即 x=Ce
-arctany
+arctany-1，其中C是任意常数．
(Ⅵ)题设方程为齐次微分方程，方程可改写成
这是一个变量可分离型方程，其通解为y(e
u
+u)=C．所以原微分方程的通解为
+x=C． (Ⅷ)因为y"cosy=(siny)"，令u=siny，则原微分方程化为 u"+u=x． 这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e
-x
(C+∫xe
x
dx)=Ce
-x
+x-1 所以原微分方程的通解为siny=Ce
-x
+x-1． (Ⅸ)当y≠0时，将原方程变为如下形式：
所以原方程是一个全微分方程，其通解为
(Ⅺ)对应的特征方程为λ
2
+9=(λ-3i)(λ+3i)=0
特征根为λ
1
=3i，λ
2
=-3i，由方程的非齐次项6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式y
*
=x(Acos3x+Bsin3x)．计算可得
【答案解析】