问答题
设随机变量X
1
，X
1
，…，X
n
相互独立，且X
i
服从参数为λ
i
的指数分布，其概率密度为
【正确答案】正确答案：方法一 P{X
1
=min{X
1
，X
2
，…，X
n
}}=P{X，≤min{X
2
，X
3
，…，X
n
}}，记Y=min{X
2
，X
3
，…，X
n
}，则有
又因为(X
1
，Y)的概率密度为f(x，y)=f
1
(x)f
Y
(y)，所以 P{X
1
≤min{X
2
，X
3
，…，X
n
}}=
=∫
0
+∞
λ
1
e
－λ1x
dx∫
x
+∞
(λ
2
+λ
3
+…+λ
n
)e
－(λ2+λ3+…+λn)y
dy =∫
0
+∞
λ
1
e
－λ1x
e
－(λ2+λ3+…+λn)x
dx =
方法二 利用连续型的全概率公式． P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
)≥X
1
}=∫
－∞
+∞
P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
}≥x｜X
1
=x}f
1
(x)dx =∫
0
+∞
P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
}≥x}λ
1
e
－λ1x
dx =∫
0
+∞
P{X
2
≥x)…P{X
n
≥x}λ
1
e
－λ1x
dx =λ
1
∫
0
+∞
e
－λ2x
…e
－λnx
e
－λ1x
dx =
又因为(X
1
，Y)的概率密度为f(x，y)=f
1
(x)f
Y
(y)，所以 P{X
1
≤min{X
2
，X
3
，…，X
n
}}=
=∫
0
+∞
λ
1
e
－λ1x
dx∫
x
+∞
(λ
2
+λ
3
+…+λ
n
)e
－(λ2+λ3+…+λn)y
dy =∫
0
+∞
λ
1
e
－λ1x
e
－(λ2+λ3+…+λn)x
dx =
方法二 利用连续型的全概率公式． P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
)≥X
1
}=∫
－∞
+∞
P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
}≥x｜X
1
=x}f
1
(x)dx =∫
0
+∞
P{min{X
2
，X
3
，…，X
n
}≥x}λ
1
e
－λ1x
dx =∫
0
+∞
P{X
2
≥x)…P{X
n
≥x}λ
1
e
－λ1x
dx =λ
1
∫
0
+∞
e
－λ2x
…e
－λnx
e
－λ1x
dx =
【答案解析】