问答题
设A为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵
使得
使得
问答题
求λ
0
的值；
【正确答案】
【答案解析】[解] A的特征值为：1，2，-1，
|A|=1·2·(-1)=-2．
A * 的特征值为：
|A|=1·2·(-1)=-2．
A * 的特征值为：
问答题
计算(A
*
)
-1
；
【正确答案】
【答案解析】A为实对称矩阵，其特征值为1，2，-1，P=(α
1
，α
2
，α
3
)中的α
1
，α
2
，α
3
是与之对应的特征向量，因而彼此正交，即有
[α 1 ，α 3 ]=0，即-2-5a+2=0，a=0，
[α 2 ，α 3 ]=0，即-26-5(a+1)+1=0，b=-2．
又因为A为实对称矩阵，
A * =|A|A -1 =-2A -1 ，
(A * ) T =(-2A -1 ) T =-2(A T ) -1 =-2A -1 =A * ．
∴A * 亦为实对称矩阵，(A * ) -1 亦为实对称矩阵，其特征值分别为
为其对应的特征向量，且有
(A * ) -1 的特征值为
(A * ) -1 的迹为
[α 1 ，α 3 ]=0，即-2-5a+2=0，a=0，
[α 2 ，α 3 ]=0，即-26-5(a+1)+1=0，b=-2．
又因为A为实对称矩阵，
A * =|A|A -1 =-2A -1 ，
(A * ) T =(-2A -1 ) T =-2(A T ) -1 =-2A -1 =A * ．
∴A * 亦为实对称矩阵，(A * ) -1 亦为实对称矩阵，其特征值分别为
为其对应的特征向量，且有
(A * ) -1 的特征值为
(A * ) -1 的迹为
问答题
计算行列式|A
*
+E|．
【正确答案】
【答案解析】A
*
的特征值为-2，-1，2．A
*
+E的特征值为-1，0，3．|A
*
+E|=(-1)·0·3=0．