问答题
设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f"(a)·f"(b)＞0.证明：至少存在一点ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0.
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为f(x)在[a，b]上二阶可导，故f"(x)在[a，b]上连续．不妨设f"(a)＞0，f"(b)＞0，则存在δ
1
＞0，δ
2
＞0，使f"(x)＞0，x∈[a，a+δ
1
]，x∈[b-δ
2
，b]．于是f(x)在这两个区间上单调增加，因此存在x
1
∈(a，a+δ
1
)，x
2
∈(b-δ
2
，b)，使f(x
1
)＞f(a)=0，f(x
2
)＜f(b)=0，且x
1
＜x
2
．
在区间[x 1 ，x 2 ]上应用零点定理知，存在
使f(ξ)=0.
由于f(x)在[a，b]上可导，f(a)=f(ξ)=f(b)=0，在[a，ξ]和[ξ，b]上分别应用罗尔定理，则存在ξ 1 ∈(a，ξ)，ξ 2 ∈(ξ，b)，使f"(ξ 1 )=f"(ξ 2 )=0.
再由f"(x)在[a，b]上可导，在[ξ 1 ，ξ 2 ]上应用罗尔定理，则存在
在区间[x 1 ，x 2 ]上应用零点定理知，存在
使f(ξ)=0.
由于f(x)在[a，b]上可导，f(a)=f(ξ)=f(b)=0，在[a，ξ]和[ξ，b]上分别应用罗尔定理，则存在ξ 1 ∈(a，ξ)，ξ 2 ∈(ξ，b)，使f"(ξ 1 )=f"(ξ 2 )=0.
再由f"(x)在[a，b]上可导，在[ξ 1 ，ξ 2 ]上应用罗尔定理，则存在