【正确答案】
【答案解析】[解] “充分性”(反证法)
反设r(A)＜n，则|A|=0．于是λ=0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即Ax=λx=0x=0(x≠0)．所以x
T
A
T
=0．
所以x
T
(AB+B
T
A)x=x
T
ABx+x
T
B
T
Ax=0，与AB+B
T
A是正定矩阵矛盾，假设不成立，所以r(A)=n．
“必要性”
因为r(A)=n，所以A的特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
全不为0．
取B=A，则AB+B
T
A=AA+AA=2A
2
，它的特征值为
2λ
1
2
，2λ
2
2
，…，2λ
n
2
全部为正，所以AB+B
T
A是正定矩阵．